Question

某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（　　）年后需要更新设备．

A．10

B．11

C．13

D．21

Answer 1

分析：由题意可知：每年的维护费构成一个以2为首项，2为公差的等差数列，进而可得年平均费用为：y=n+

100

n

+1.5，然后由基本不等式可求出年平均费用的最低值和对应的年数．

解答：解：由题意可知：每年的维护费构成一个以2为首项，2为公差的等差数列，
故第n年的维护费为：a_n=2+2（n-1）=2n，总的维护费为：

n(2+2n)

2

=n（n+1）
故年平均费用为：y=

100+0.5n+n(n+1)

n

，即y=n+

100

n

+1.5，（n为正整数）；
由基本不等式得：y=n+

100

n

+1.5≥2

n 100 n

+1.5=21.5（万元）
当且仅当n=

100

n

，即n=10时取到等号，即该企业10年后需要更新设备．
故选A

点评：本题考查基本不等式的应用．设计等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．