Question

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．
（1）求g（10）；
（2）求第x个月的当月利润率g（x）；
（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

Answer 1

【答案】分析：（1）当1≤x≤20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，从而知
（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1≤x≤20，21≤x≤60时f（x）的值，代入即可．
（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式可得，解答如下：
解答：解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1
g（x）===．
（2）当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x-1）=f（x）=1
∴g（x）====．
当21≤x≤60时，
g（x）=
=
=
=
=
∴当第x个月的当月利润率
；
（3）当1≤x≤20时，是减函数，
此时g（x）的最大值为
当21≤x≤60时，

当且仅当时，即x=40时，
，又∵，
∴当x=40时，
所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．
点评：本题是分段函数的应用题，借助分段函数考查反函数的单调性，基本不等式的应用，求分段函数的最值，综合性强，难度适中，值得学习．