Question

（2011•静海县一模）已知下列四个命题：
①i是虚数单位，则

2i3

1-i

=1-i；
②命题“存在x₀∈R，2x0≤0”的否定是“不存在x₀∈R，2x0＞0”；
③函数f（x）=e^x+x-2在区间（0，1）内有零点；
④函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为2，-

π

3

．
其中是真命题的是（　　）

A．①②

B．②④

C．③④

D．①③

Answer 1

分析：①利用复数的四则运算进行化简．②利用特称命题的否定是全称命题去判断．③利用根的存在性定理，验证f（0）f（1）＜0是否成立．④根据图象求出对应的ω、φ．

解答：解：①

2i3

1-i

=

-2i

1-i

=

-2i(1+i)

(1-i)(1+i)

=

-2i(1+i)

2

=1-i，所以①正确．
②特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x₀∈R，2x0≤0”的否定是?x∈R，2^x＞0．所以②错误．
③因为函数f（x）=e^x+x-2在区间（0，1）上为增函数，且f（0）=2⁰+0-2=-10，
所以根据根的存在定理可知函数f（x）=e^x+x-2在区间（0，1）内有零点，所以③正确．
④由图象可知

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，解得周期T=π，又T=π=

2π

ω

，所以解得ω=2，此时y=sin（2x+φ）．
由f(

7π

12

)=sin?(2×

7π

12

+?)=-1，解得sin?(

7π

6

+?)=-1，
即

7π

6

+?=

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得?=

π

3

+2kπ，k∈Z，
因为|?|＜

π

2

，所以解得?=

π

3

．所以④错误．
所以真命题为①③．
故选D．

点评：本题考查各种命题的真假判断，熟练掌握各种命题的判断方法是解决这类问题的关键．