Question

圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（　　）

• A、

  7

• B、

  7

  2

• C、3
• D、

  3

  2

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．

解答：解：建立空间直角坐标系．设A（0，-1，0），B（0，1，0），S(0，0，

3

)，M(0，0，

3

2

)，P（x，y，0）．
于是有

AM

=(0，1，

3

2

)，

MP

=(x，y，-

3

2

)．
由于AM⊥MP，所以(0，1，

3

2

)•(x，y，-

3

2

)=0，
即y=

3

4

，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2

1-( 3 4 )2

=

7

2

． 
  故选 B．

点评：本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题．