Question

5．（Ⅰ）如果方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）已知双曲线的中心在原点，两个焦点为F₁ （-$\sqrt{5}$，0）和F₂ （$\sqrt{5}$，0），P在双曲线上，满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0且△F₁PF₂的面积为1，求此双曲线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方程x²+ky²=2可化为$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{k}}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，利用方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆，建立不等式，即可求实数k的取值范围；
（Ⅱ）设|PF₁|=x，|PF₂|=y，根据足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0判断出∠PF₁F₂=90°进而根据三角形面积公式求得xy，最后根据勾股定理求得x²+y²的值，进而求得y-x，根据双曲线定义求得a，最后根据a和c求得b，双曲线方程可得．

解答 解：（Ⅰ）方程x²+ky²=2可化为$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{k}}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，
∵表示焦点在y轴上的椭圆，
∴$\frac{2}{k}$＞2，
∴0＜k＜1；
（Ⅱ）设|PF₁|=x，|PF₂|=y，x＞y，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴∠PF₁F₂=90°，
∴$\frac{1}{2}$xy=1，xy=2，
∵F₁F₁=2$\sqrt{5}$，
∴x²+y²=20，
∴y-x=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$=4，
∵y-x=2a=4，
∴a=2，
∴b=1．
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

点评 本题主要考查了椭圆、双曲线的标准方考查学生的计算能力，属于中档题．