Question

【题目】如图，四棱柱的底面为菱形，底面，，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）若，求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）证明平面，可证与平面内的直线平行，则取的中点，连接，即可。

（Ⅱ）证明平面平面，可证平面，又因为平面，所以平面平面．

（Ⅲ）由（I）知，，则（或其补角）是异面直线与所成的角．在中，分别求出，，，通过余弦定理可求得与所成角的余弦值。

（Ⅰ）取的中点，连接，，

∵，，，，

∴，．

∴四边形是平行四边形．

∴．

又平面，平面，

∴平面．

（Ⅱ）在菱形中，

∵， ∴，∴是等边三角形．

∴．∴．

又平面， ∴．

又 ,∴平面．

∴平面

∴平面平面．

（Ⅲ）由（I）知，，

则（或其补角）是异面直线与所成的角．

在中，∵，，，

∴．

∴异面直线与所成角的余弦值为．