Question

抛物线y=-x²+4上存在两点关于直线y=kx+3对称，则k的取值范围是

k＜-

2

2

或k＞

2

2

．

Answer 1

分析：设两对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由条件可设AB方程为：y=-

1

k

x+m，与抛物线方程y=-x²+4消去y得关于x的一元二次方程，则△＞0①，由韦达定理可表示AB中点横坐标，代入y=kx+3得其纵坐标，再代入AB方程得m与k的方程

7

2

=-

1

2k2

+m②，联立①②即可求得k的取值范围．

解答：解：设两对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则直线AB与直线y=kx+3对称，
易知k≠0，设AB方程为：y=-

1

k

x+m，
由

y=- 1 k x+m y=-x2+4

得x2-

1

k

x+m-4=0，则△=(-

1

k

)2-4(m-4)＞0①，
x₁+x₂=

1

k

，则AB中点横坐标为

1

2k

，代入y=kx+3得y=k•

1

2k

+3=

7

2

，所以AB中点坐标为（

1

2k

，

7

2

），
又中点在直线AB上，所以

7

2

=-

1

k

•

1

2k

+m，即

7

2

=-

1

2k2

+m②，
由②得m=（

7

2

+

1

2k2

），代入①解得k＜-

2

2

或k＜-

2

2

，
所以k的取值范围为：k＜-

2

2

或k＜-

2

2

．
故答案为k＜-

2

2

或k＜-

2

2

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查轴对称问题，本题采用“方程、不等式”法，解决本题的关键是用数学式子充分刻画条件：两点关于直线对称．