Question

已知定义在R上函数f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，对于任意x∈R．求实数m范围，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0恒成立．

Answer 1

分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论．

解答：解：∵f（x）为奇函数且在[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）R上是增函数，
由f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0得f（cos2θ-3＞-f（4m-2mcosθ）=f（2mcosθ-4m），
即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，
∴∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，则原不等式可转化为：t²-mt+2m-2＞0．
当t∈[-1，1]时，设g（t）=t²-mt+2m-2＞0．
由t²-mt+2m-2＞0，得m＞t-2+

2

t-2

+4，t∈[-1，1]时，
∵t-2+

2

t-2

+4=-[-（t-2）+（-

2

t-2

）]+4≤4-2

2

即当且仅当t=2-

2

时，取等号，
∴m＞4-2

2

．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，以及利用基本不等式求最值，同时考查了转化的思想．