Question

已知f（x）=x²+2x，x∈[-2，1]，给出事件A：f（x）≥a．
（1）当A为必然事件时，求a的取值范围；
（2）当A为不可能事件时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：根据函数的解析式求得函数的最大值是3，最小值是-1，
（1）当A为必然事件时，即不等式f（x）≥a在[-2，-1]上恒成立，故有-1≥a，由此求得实数a的取值范围．
（2）当A为不可能事件时，即不等式f（x）≥a在[-2，-1]上无解，故有 3＜a，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：由于f（x）=x²+2x，x∈[-2，1]，图象开口向上，对称轴为x=-1，
则f（x）在[-2，-1]上单调递减，在[-1，1]上单调递增，
又由f（-2）=（-2）²+2×（-2）=0，f（-1）=（-1）²+2×（-1）=-1，f（1）=（1）²+2×（1）=3，
故f（x）在[-2，1]上的最大值是3，最小值是-1，
（1）当A为必然事件时，即不等式f（x）≥a在[-2，-1]上恒成立，
要使不等式f（x）≥a在[-2，-1]上恒成立，故有-1≥a，
则a的取值范围为（-∞，-1]；
（2）当A为不可能事件时，即不等式f（x）≥a在[-2，-1]上无解，
要使不等式f（x）≥a在[-2，-1]上无解，故有 3＜a，
则a的取值范围为（3，+∞）．

点评：本题主要考查二次不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．