【题目】如图1,在多边形中,四边形为等腰梯形,,,,四边形为直角梯形,,.以为折痕把等腰梯形折起,使得平面平面,如图2所示.
(1)证明:平面.
(2)求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)取的中点,连接,可证明及,由线面垂直的判定定理证明平面.
(2)以为轴,其中轴,轴分别在平面平面中,且与垂直,垂足为建立空间直角坐际系.写出各个点的坐标,并求得平面的法向量,即可由法向量法求得直线与平面所成角的正弦值,进而求得直线与平面所成角的正切值.
(1)证明:取的中点,连接,如下图所示:
,,
由四边形为菱形,可知,
在中,在,
所以.
又平面平面,平面平面,,,
所以,平面,
所以平面,平面,
所以,又因为,
所以平面.
(2)由平面平面,如图取的中点为,以为原点,以为轴,其中轴,轴分别在平面平面中,且与垂直,垂足为建立空间直角坐际系.
因为,,,,,,.
设平面的法向量,则,即,
不妨令,得.
设直线与平面所成的角为,则,
所以.
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【题目】已知圆: 经过椭圆: 的左右焦点,且与椭圆在第一象限的交点为,且三点共线,直线交椭圆于, 两点,且().
(1)求椭圆的方程;
(2)当三角形的面积取得最大值时,求直线的方程.
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【题目】在党中央的正确领导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救治,二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后,统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数,绘制成如图折线图:
(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息,写出你认为最重要的两个统计结论;
(2)新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期,此期间为病毒传播的最佳时期,我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者,假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者,10天内所有人不知情且生活照常.
(i)在不加任何防护措施的前提下,假设每位密切接触者被感染的概率均为.第一天,若某位感染者产生名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为ap;第二天,若每位感染者都产生a名密切接触者,则第三天新增感染者平均人数为;以此类推,记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为.写出,;
(ii)在(i)的条件下,若所有人都配戴口罩后,假设每位密切接触者被感染的概率均为,且满足关系,此时,记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为.当最大,且时,根据和的值说明戴口罩的必要性.(精确到)
参考公式:函数的导函数;
参考数据:,,.
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【题目】某校为了解高三男生的体能达标情况,抽调了120名男生进行立定跳远测试,根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间的左侧,则认为该学生属“体能不达标的学生,其中分别为样本平均数和样本标准差,计算可得(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(1)若该校高三某男生的跳远距离为,试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生?
(2)该校利用分层抽样的方法从样本区间中共抽出5人,再从中选出两人进行某体能训练,求选出的两人中恰有一人跳远距离在的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,(其中)是上的一点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知为抛物线上除顶点之外的任意一点,在点处的切线与轴交于点,过点的直线交抛物线于,两点,设,,的斜率分别为,,,求证:,,成等比数列.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为,若曲线与曲线关于直线对称.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.
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