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四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a,则该四面体的体积的最大值为(  )
分析:由已知中一个四面体有五条棱长都等于2,我们易得该四面体必然有两个面为等边三角形,我们根据棱锥的几何特征,分析出当这两个平面垂直时,该四面体的体积最大,将相关几何量代入棱锥体积公式,即可得到答案.
解答:解:若一个四面体有五条棱长都等于a,
则它必然有两个面为等边三角形,如下图

由图结合棱锥的体积公式,
当这两个平面垂直时,底面积是定值,高最大,
故该四面体的体积最大,
此时棱锥的底面积S=
1
2
×a2×sin60°=
3
4
a2

棱锥的高h=
3
2
a

则该四面体的体积最大值为V=
1
3
×
3
4
a2×
3
2
a
=
1
8
a3

故选C.
点评:本题考查的知识点是棱锥的体积公式及其几何特征,其中根据棱锥的几何特征,分析出当这两个平面垂直时,该四面体的体积最大,是解答问题的关键.
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1
8
a3
1
8
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(Ⅱ)当四面体的体积最大时,求其表面积.

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四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a,则该四面体的体积的最大值为(  )
A.
3
8
a3
B.
2
8
a3
C.
1
8
a3
D.
1
12
a3

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