Question

【题目】已知正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求的取值范围；

（3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3），，，，和，，，，.

【解析】

（1）利用，求得数列的通项公式.

（2）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和.利用差比较法证得数列递增，进而求得的取值范围.

（3）先判断出数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有项.由此求得所有满足条件的等差数列.

（1）当时，由，得，得，

由，得，两式相减，得

，即，即

因为数列各项均为正数，所以，所以

所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

因此，，即数列的通项公式为.

（2）由（1）知，所以

所以

所以

令，则

所以是单调递增数列，数列递增，

所以，又，所以的取值范围为.

（3）

设奇数项取了项，偶数项取了项，其中，，，.

因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数.

假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数.

设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，

则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以.

又为奇数，而，，则与均为偶数，矛盾。

又因为，所以，即偶数只有两项，

则奇数最多有项，即的最大值为.

设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且.

由，得，，此数列为，，，，.

同理，若从大到小排列，此数列为，，，，.

综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为，，，，和，，，，.