Question

（理）如图，单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F分别是棱C₁D₁和B₁C₁的中点，试求：
（Ⅰ）AF与平面BEB₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）点A到面BEB₁的距离．

Answer 1

分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用线面角公式sinθ=|cos＜

n

，

AF

＞|=

| n • AF |

| n | | AF |

即可得出；
（2）利用点A到面BEB₁的距离d=

| n • AB |

| n |

即可得出．

解答：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
则A（1，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），E(0，

1

2

，1)，F(

1

2

，1，1)．
∴

BB1

=(0，0，1)，

BE

=(-1，-

1

2

，1)，

AF

=(-

1

2

，1，1)．
设平面BEB₁的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • BB1 =0 n • BE =0

，即

z=0 -x- 1 2 y+z=0

，取y=2，则x=-1，z=0．
∴

n

=(-1，2，0)，
设AF与平面BEB₁所成的角为θ，θ∈[0，

π

2

]．
则sinθ=|cos＜

n

，

AF

＞|=

| n • AF |

| n | | AF |

=

1 2 +2

5 × 1 4 +2

=

5

3

，
∴cosθ=

1-sin2θ

=

2

3

．
（2）由（1）可得平面BEB₁的法向量

n

=(-1，2，0)，

AB

=(0，1，0)．
∴点A到面BEB₁的距离d=

| n • AB |

| n |

=

2

5

=

2 5

5

．

点评：熟练掌握线面角公式sinθ=|cos＜

n

，

AF

＞|=

| n • AF |

| n | | AF |

、点A到面BEB₁的距离d=

| n • AB |

| n |

是解题的关键．