Question

已知f（x）=x²﹣alnx在（1，2]上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（1）求a的值；
（2）设函数在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求实数b的取值范围；
（3）设，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

Answer 1

解：（1），依题意，当x∈（1，2]时，f'（x）≥0恒成立，
即a≤（2x²）_mina≤2.
，当x∈（0，1）时，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，
所以a=2．
（2），
所以f（x）在（0，1]上是减函数，最小值是f（1）=1.
在（0，1]上是增函数，即恒成立，
得b≥﹣1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b﹣1，
由已知得1≥2b﹣1b≤1，
所以b的取值范围是[﹣1，1]．
（3），n=1时不等式左右相等，得证；
n≥2时，
=，
所以，[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）成立．