Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AA₁=4，M、N分别为CC₁、A₁C₂的中点．
（I）求证：AM⊥平面B₁MN；
（II）求二面角A₁-B₁M-A的大小．

Answer 1

证明：（I）分别以BA、BB₁、BC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系B-xyz，则A（2，0，0），M（0，2，2），B₁（0，4，0），N（1，4，1），
∴，
∴，
∴AM⊥B₁N，AM⊥B₁M，
又B₁N∩B₁M=B₁，
∴AM⊥平面B₁MN 
解：（II）由（I）知，
AM⊥平面B₁MN，
∵B₁M?平面B₁MN，
∴AM⊥B₁M，
∵A₁B⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁，
∴A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，
∵B₁M?平面B₁BCC₁，∴A₁B₁⊥B₁M，
∵，
∴．
故二面角A₁-B₁M-A的大小为．

分析：（I）分别以BA、BB₁、BC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系B-xyz，分别求出向量，的坐标进而根据向量数量积为0，则两向量垂直，得到AM⊥B₁N，AM⊥B₁M，结合线面垂直的判定定理得到AM⊥平面B₁MN；
（II）由（I）中的结论可得AM⊥平面B₁MN，进而AM⊥B₁M，根据直三棱柱的几何特征，我们还可得A₁B₁⊥B₁M，根据二面角的定义，我们易得二面角A₁-B₁M-A的平面角等于异面直线AM与A₁B₁的夹角，分别求出异面直线AM与A₁B₁的方向向量，代入向量夹角公式即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，将空间直线与直线的垂直，夹角，平行问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．