Question

命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：?x∈[1，2]，x²-a≥0，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据二次函数的图象和性质我们可以求出命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立时，及命题q：?x∈[1，2]，x²-a≥0时，a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假，结合复合命题的真值表，可得p、q一真一假，分类讨论后可得实数a的取值范围．

解答：解：设g（x）=x²+2ax+4，由于关于x的不等式x²+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，
所以函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，
故△=4a²-16＜0，
∴-2＜a＜2．…（2分）
若q为真命题，a≤x²恒成立，即a≤1．…（4分）
由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假．…（5分）
①若p真q假，则

-2＜a＜2 a＞1

∴1＜a＜2；…（7分）
②若p假q真，则

a≤-2 a＜1

∴a≤-2；…（9分）
综上可知，所求实数a的取值范围是{a|1＜a＜2或a≤-2}…（10分）

点评：本题以复合命题的真假判断为载体考查了二次不等式恒成立问题，其中根据二次函数的图象和性质，分别求出对应的a值，是解答本题的关键．