Question

设关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β.
(Ⅰ)求α的取值范围;  (Ⅱ)求tan(α+β)的值.

Answer 1

(Ⅰ)|a|<2 且a≠-.
(Ⅱ)tan(α+β)=

(Ⅰ)∵sinx+cosx=2(sinx+cosx)="2" sin(x+),  
∴方程化为sin(x+)=-.
∵方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解,
∴sin(x+)≠sin= .
又sin(x+)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), 
∴|-|<1 . 且-≠. 即|a|<2 且a≠-. 
∴  a的取值范围是(-2, -)∪(-, 2).      
(Ⅱ) ∵α、β是方程的相异解,
∴sinα+cosα+a="0  " ①.   
sinβ+cosβ+a="0     " ②.
①-②得(sinα- sinβ)+( cosα- cosβ)="0."
∴ 2sincos-2sinsin="0," 又sin≠0,
∴tan=.
∴tan(α+β)==.