Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{a-1}$（a＞0，且a≠1）
（1）判断f（x）的奇偶性和单调性；
（2）已知p：不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[-1，1]恒成立；q：函数g（x）=lnx+（x-b）²（b∈R）在[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调递增区间，若p或q为真，p且q为假，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①由函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{a-1}$（a＞0，且a≠1），可得x∈R．计算f（x）±f（-x），即可判断出奇偶性．f′（x）=$\frac{{a}^{x}lna+{a}^{-x}lna}{a-1}$=$\frac{lna（{a}^{x}+{a}^{-x}）}{a-1}$，对a分类讨论即可判断出单调性．
（2）若命题p是真命题：由于函数f（x）在R是单调递增，且不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[-1，1]恒成立，当x=1时，函数f（x）取得最大值，可得af（1）≤2b（a+1），即可解出．
若命题q是真命题：g′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-b），由于函数g（x）=lnx+（x-b）²（b∈R）在[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调递增区间，可得g′（2）＞0，即可解出．根据p或q为真，p且q为假，可得p真q假，或p假q真．

解答 解：（1）①由函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{a-1}$（a＞0，且a≠1），可得x∈R．
∵f（x）+f（-x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{a-1}$+$\frac{{a}^{-x}-{a}^{x}}{a-1}$=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
②f′（x）=$\frac{{a}^{x}lna+{a}^{-x}lna}{a-1}$=$\frac{lna（{a}^{x}+{a}^{-x}）}{a-1}$，
当a＞1时，lna＞0，a-1＞0，a^x+a^-x＞0，
∴f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增．
同理可得：当0＜a＜1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增．
无论：a＞1，还是0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递增．
（2）若命题p是真命题：∵函数f（x）在R是单调递增，且不等式af（x）≤2b（a+1）对任意x∈[-1，1]恒成立，
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，∴af（1）=a×$\frac{a-{a}^{-1}}{a-1}$≤2b（a+1），化为$b≥\frac{1}{2}$；
若命题q是真命题：g′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-b），∵函数g（x）=lnx+（x-b）²（b∈R）在[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调递增区间，
∴g′（2）＞0，∴$\frac{1}{2}+2（2-b）$＞0，解得$b＜\frac{9}{4}$．
∵p或q为真，p且q为假，
∴p真q假，或p假q真．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b≥\frac{1}{2}}\\{b≥\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{b＜\frac{1}{2}}\\{b＜\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得$b≥\frac{9}{4}$，或$b＜\frac{1}{2}$．
∴b的取值范围是$（-∞，\frac{1}{2}）$∪$[\frac{9}{4}，+∞）$．

点评 本题考查了函数奇偶性单调性、利用导数判定函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．