Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax+1，x≥2}\\{（3-a）x+2，x＜2}\end{array}\right.$为R上的增函数．则实数a取值的范围．

Answer 1

分析 根据f（x）在R上单调递增便可知，二次函数x²+ax+1在[2，+∞）上单调递增，一次函数（3-a）x+2在（-∞，2）上单调递增，并且需满足函数x²+ax+1在x=2时的函数值大于等于（3-a）x+2在x=2时的函数值，从而可以得到不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤2}\\{3-a＞0}\\{4+2a+1≥2（3-a）+2}\end{array}\right.$，这样解该不等式组即可得出实数a的取值范围．

解答 解：f（x）为R上的增函数；
∴①x≥2时，f（x）=x²+ax+1为增函数；
∴$-\frac{a}{2}≤2$；
∴a≥-4；
②x＜2时，f（x）=（3-a）x+2为增函数；
∴3-a＞0；
∴a＜3；
且2²+2a+1≥（3-a）•2+2；
解得$a≥\frac{3}{4}$；
∴实数a的取值范围为：[$\frac{3}{4}$，3）．

点评 考查增函数的定义，分段函数单调性的特点，以及二次函数的单调性和对称轴的关系，一次函数的单调性．