Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（1，1），$\overrightarrow{c}$为单位向量，若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$垂直，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则向量$\overrightarrow{c}$的坐标为（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{c}$=（m，n），由单位向量的定义和向量垂直的条件，可得方程，再由$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，可得数量积大于0，计算即可得到．

解答 解：设$\overrightarrow{c}$=（m，n），则m²+n²=1，①
若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$垂直，则$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=0，
即有m-2n=0，②
解得m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，n=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
或m=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，n=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，
则m+n＞0，
故$\overrightarrow{c}$=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．
故答案为：（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查向量夹角的概念，考查运算能力，属于中档题．