Question

如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=，AB=2，BC=2AE=4，是等腰三角形．

（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求四棱锥P—ACDE的体积．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先证  （Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，

所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，

又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为

，所以平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P—ACDE的体积为=.

考点：平面与平面垂直的判定；体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的角．

点评：本题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力．