Question

已知函数
（1）若x=e为y=f（x）-2ex-ax的极值点，求实数a的值
（2）若x是函数f（x）的一个零点，且x∈（b，b+1），其中b∈N，则求b的值
（3）若当x≥1时，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知函数，y=f（x）-2ex-ax，我们易求出函数y=f（x）-2ex-ax的解析式，又由进而求出其导函数的解析式，又由x=e为y=f（x）-2ex-ax的极值点，故y'_x=e=0，由此构造关于a的方程，解方程即可求出实数a的值
（2）根据函数单调性的性质，我们易得函数为增函数，若x是函数f（x）的一个零点，利用二分法我们易得在区间（，1）上存在函数唯一的零点，则（，1）?（b，b+1），又由b∈N，即求出b的值
（3）构造函数，则问题可转化为当x≥1时函数恒成立问题，分析函数的单调性，求出函数的最值，即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）…（2分）
∵y在x=e处取得极值，∴y'_x=e=0即解得
经检验符合题意，∴…（4分）
（2）∵，（x＞0），∴f'（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增…（5分）
又∴
且
由二分法可得…（7分）
又∵
∴b=0…（8分）
（3）设，，∵x≥1，∴
（ⅰ）若c≤2，当x≥1时，恒成立
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥1时，g（x）≥g（1），即．…（9分）
若c＞2，方程g'（x）=0有2根
或且x₁＜1＜x₂
此时若x∈（1，x₂），则g'（x）＜0，
故g（x）在该区间为减函数
所以x∈（1，x₂）时，g（x）＜g（1）=0即
与题设矛盾
综上，满足条件的c的取值范围是（-∞，2]…（12分）
点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，函数恒成立问题，函数的零点，其中（1）的关键是根据函数在某点取得极值的条件构造方程y'_x=e=0，（2）的关键是用二分法求出在区间（，1）上存在函数唯一的零点，（3）的关键是将问题转化为一个函数恒成立问题．