Question

（本小题满分14分）

已知函数，．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数，并给予证明；

（Ⅲ）阅读右边的程序框图，请结合试题背景简要描述其算法功能，并求出执行框图所表达的算法后输出的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 当时，取得极小值，无极大值

(2) 函数在区间上有且只有一个零点.,根据构造函数思想，利用端点值函数值异号判定。

(3) 输出的值为4

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）∵，，……………1分

当时，；当时，.……………3分

当时，取得极小值，无极大值.……………4分

（Ⅱ）函数在区间上有且只有一个零点.    ……………5分

证明如下：

∵，

，

，

函数在区间上必定存在零点.      ………6分

∵，当时，，

在区间上单调递增，             8分

∴函数在区间上的零点最多一个.    ……9分

综上知：函数在区间上存在唯一零点．

（Ⅲ）程序框图的算法功能：找出最小的正整数,使的零点满足.               …10分

∵，

当时，；

当时，.   ……11分

又在区间上单调递增，

当时，；当时，.………13分

输出的值为4． …………………………………14分

考点：函数极值，函数零点，框图

点评：本题主要考查函数、导数、零点、算法初步等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。