Question

8．设数列{a_n}满足：a₁=a₂=1，且a_n+2=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+a_n，n∈N，求a₂₀₁₁．

Answer 1

分析 由已知得{a_na_n+1}是首项为1，公差为1的等差数列，从而a_na_n+1=1+（n-1）=n，由此利用累乘法能求出a₂₀₁₁的值．

解答 解：∵数列{a_n}满足：a₁=a₂=1，且a_n+2=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+a_n，n∈N，
∴a_n+2a_n+1-a_n+1a_n=1，a₁a₂=1，
∴{a_na_n+1}是首项为1，公差为1的等差数列，
a_na_n+1=1+（n-1）=n，
${a}_{n}=\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}•{a}_{n-2}$=$\frac{n-1}{n-2}×\frac{n-3}{n-4}×\frac{n-5}{n-6}×…×\frac{2}{1}×{a}_{1}$．
∴a₂₀₁₁=$\frac{2010}{2009}×\frac{2008}{2007}×\frac{2006}{2005}×…×\frac{2}{1}×1$
=56．

点评 本题考查数列的第2011项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．