Question

16．求函数f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-3×（$\frac{1}{2}$）^x+2，x∈[-2，2]的值域．

Answer 1

分析 令（$\frac{1}{2}$）^x=t，则t∈[$\frac{1}{4}$，4]，f（x）=t²-3t+2．则f（x）的值域为二次函数g（t）=t²-3t+2在[$\frac{1}{4}$，4]上的值域．

解答 解：令（$\frac{1}{2}$）^x=t，则t∈[$\frac{1}{4}$，4]，∴f（x）=t²-3t+2．
令g（t）=t²-3t+2．则g（t）的对称轴为t=$\frac{3}{2}$，∴g（t）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$]上单调递减，在（$\frac{3}{2}$，4]上单调递增．
∴当t=$\frac{3}{2}$时，g（t）取得最小值g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，当t=4时，g（t）取得最大值g（4）=6．
∴f（x）的值域是[-$\frac{1}{4}$，6]．

点评 本题考查了二次函数的单调性与最值．换元法的解题思想，属于中档题．