Question

6．已知方程x²+3x+c=0的两个根为x₁、x₂，且|x₁-x₂|=1．
（1）若x₁、x₂是实数，求实数c的值；
（2）若x₁、x₂是复数，求实数c的值．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-3，x₁x₂=c；
（1）当x₁、x₂是实数时，利用${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}$=${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-4x₁x₂求出c的值；
（2）当x₁、x₂是复数时，设x₁=-$\frac{3}{2}$+bi，则x₂=-$\frac{3}{2}$-bi，利用|x₁-x₂|=1求出|b|的值，计算c的值即可．

解答 解：∵方程x²+3x+c=0的两个根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=c；
又|x₁-x₂|=1，
（1）若x₁、x₂是实数，
则${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}$=${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-4x₁x₂=（-3）²-4c=1，
解得c=2；
（2）若x₁、x₂是复数，
设x₁=-$\frac{3}{2}$+bi，b∈R，
则x₂=-$\frac{3}{2}$-bi；
∴|x₁-x₂|=|2bi|=2|b|=1，
解得|b|=$\frac{1}{2}$；
∴c=（-$\frac{3}{2}$+bi）（-$\frac{3}{2}$-bi）=$\frac{9}{4}$+b²=$\frac{9}{4}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了实系数一元二次方程的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．