Question

已知函数有三个极值点．
（1）求c的取值范围；
（2）若存在c=5，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数有三个极值点，
∴f'（x）=x³+3x²-9x+c=0有三个不等的实根，
设g（x）=x³+3x²-9x+c，则g'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）…（3分）
列表如下：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	_	0	+
g（x）	增	极大值27+c	减	极小值c-5	增

∴解得-27＜c＜5…（8分）
（2）当c=5时，由f'（x）=x³+3x²-9x+5=0，即f'（x）=（x-1）²（x+5）=0可知f（x）在（-∞，-5]上单调递减，
所以a+2≤-5，即a≤-7…（12分）
分析：（1）函数有三个极值点，转化为导函数有三个不等的实根，求出导函数的极值，建立不等式，即可确定c的取值范围；
（2）当c=5时，可知f（x）在（-∞，-5]上单调递减，从而可求a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，将函数有三个极值点，转化为导函数有三个不等的实根是解题的关键．