Question

1．如图，正方形ABCD与正方形ABEF边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=α（0＜α＜$\sqrt{2}$）
（1）求MN的长度；
（2）当α为何值时，MN的长最小．

Answer 1

分析 （1）过M作MP⊥AB，垂足为P，连接PN．运用平行线成比例可得PN∥AF，再由面面垂直的性质定理，可得AD⊥AF，根据勾股定理，我们易得MN²=MP²+PN²，可得MN的长度；
（2）由二次函数的性质，易得到MN的最小值．

解答 解：（1）过M作MP⊥AB，垂足为P，连接PN．
∵$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AP}{PB}$，$\frac{AM}{MC}$=$\frac{FN}{NB}$，∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{FN}{NB}$，
∴PN∥AF，
平面ABCD⊥平面ABEF，AB⊥AD，
可得AD⊥平面BF，即有AD⊥AF，
即有∠MPN=90°MP=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
由勾股定理知：MN²=MP²+PN²=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²
=a²-$\sqrt{2}$a+1=（a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
则MN=$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$（0＜a＜$\sqrt{2}$）；
（2）MN²=a²-$\sqrt{2}$a+1=（a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，MN取得最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的知识点是空间中两点之间的距离运算，关键是将空间两点间的距离表示成a的函数，进而转化成求函数最值的问题．