Question

已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程；
（3）求三角形面积的最大值．

Answer 1

（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及分类讨论思想与创新意识等．）
解：（1）因为，所以，所以．   1分
由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．
因为，所以，所以．3分
故双曲线离心率的取值范围为．                      4分
（2）方法1：因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．   5分
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，                 6分
所以联立方程组                  7分
消去，，即得直线的方程为．                  8分
方法2：设，已知点，
则，．
因为，所以，即．                5分

整理得．
因为，所以．                       6分
因为，，根据平面几何知识可知，．
因为，所以．                           7分
所以直线方程为．
即．
所以直线的方程为．                        8分
方法3：设，已知点，
则，．
因为，所以，即解析