Question

【题目】已知实数a，b，c满足a，b，c∈R+ ．
（Ⅰ）若ab=1，证明：（ + ）2≥4；
（Ⅱ）若a+b+c=3，且 + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵ab=1，∴（ + ）2=a2+b2+2≥2ab+2=4； （Ⅱ）解：（ + + ）2≤（1+1+1）（a+b+c）=9，
∵ + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立，
∴9≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3，
∴|2x﹣1|﹣|x﹣2|≥6，
x＜ ，不等式化为﹣2x+1+x﹣2≥6，∴x≤﹣7，∴x≤﹣7，
，不等式化为2x﹣1+x﹣2≥6，∴x≥3，不成立；
x＞2，不等式化为2x﹣1﹣x+2≥6，∴x≥5，∴x≥5；
综上所述，x≤﹣7或x≥5
【解析】（Ⅰ）利用基本不等式，即可证明结论；（Ⅱ）（ + + ）2≤（1+1+1）（a+b+c）=9， + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立，可得9≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3，分类讨论，即可求x的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．