Question

【题目】如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．
（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；
（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示：

则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）

∴ =（﹣3，3，3）， =（3，0，﹣1）

∴cosθ= = =﹣

则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为

（2）解：B（3，3，0）， =（0，﹣3，2）， =（3，0，﹣1）

设平面BED1F的一个法向量为 =（x，y，z）

由 得

令x=1，则 =（1，2，3）

则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为

| |= =

【解析】（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量 ， 的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．（2）设出平面BED1F的一个法向量为 ，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED1F的法向量为 的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．