Question

已知P是抛物线x²=4y上的一点，A（2，3）是平面内的一定点，F是抛物线的焦点，当P点坐标是

（2，1）

时，PA+PF 最小．

Answer 1

分析：设点P在准线上的射影为Q，连结PQ，由抛物线的定义得PA+PF=PA+PQ，根据平面几何知识得A、P、Q三点共线时，PA+PQ达到最小值．由此加以计算，即可得到使得PA+PF取最小值的P点坐标．

解答：解：∵抛物线x²=4y中，2p=4，得

p

2

=1，
∴抛物线的焦点为F（0，1），准线为y=-1，
设P在准线上的射影为Q，连结PQ，
根据抛物线的定义，得PA+PF=PA+PQ，
由平面几何的性质，当A、P、Q三点共线时，PA+PQ达到最小值．
∴当A、P、Q的横坐标相等时，三点共线且所在直线与准线垂直，
此时PA+PF达到最小值．
即当P的横坐标为2时PA+PF 最小，设P（2，n）代入抛物线得2²=4n，解得n=1，得P（2，1）．
故答案为：（2，1）

点评：本题给出定点A与抛物线上的动点P，求抛物线的焦点和A点到点P距离之和的最小值．着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．