Question

如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的身影。

（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；

（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；

（Ⅲ）求二面角C―BF―E的大小。

Answer 1

方法一：（Ⅰ）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，

所以EF∥AC所以∠BCA是EF与BC所成角。

因为正四面体ABC为正三角形，所以∠BCA = 60°

即EF与BC所成角的大小是60°

（Ⅱ）解法1：

   

如图，连结AO，AF，因为F是CD的中点，

且△ACD，△BCD均为正三角形，所以BF⊥CD，AF⊥CD

因为BF∩AF = F，             所以CD⊥面AFB。

因为CD面ACD    所以面AFB⊥面ACD。

因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，

所以点O必在正三角形BCD的中线BF上。

在面ABF中，过O作OG⊥AF，垂足为G，所以OG⊥面ACD。

即OG的长为点O到面ACD的距离。

因为正四面体ABCD的棱长为1，

在△ABF中，容易求出AF= BF =，OF =，AO =，

因为△AOF∽△OGF，故由相似比易求出OG =。

所以点O到平面ACD的距离是

解法2 ：

如图，连结AO，CO，DO，   

所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥O―ACD底面ACD上的高h，

与解法1同理容易求出OF=，AO=

所以V_ACOD =?（??1）=。

因为V_OCOD = V_ACOD                

所以= V_OACD = ? h ? (??1)   解得h =

（Ⅲ）（文科）

连结OD，设OD的中点为K，连结EK，则EK∥AO。

因为AO⊥面BCD。所以EK⊥BCD。

在面BCD内，过点K作KN∥CD，KN交BF于M，交AB于N，

因为BE⊥CD，所以KN⊥BF，

连结EM，所以EM⊥BF。所以∠NME是所求二面角的平面角。

因为EK=AO =?=，MK =FD =CD =，                   

所以tan∠EMK =。

所以tan∠NME = tan (∠EMK ) =。

所以所求二面角的大小为 arctan  

方法二：

如图，以点A在面BCD的射影O为坐标原点，有向直线OA为z轴，有向直线BF为y轴，x轴为过点O与DC平行的有向直线。

因为正四面体ABCD的棱长为1，所以可以求出各点的坐标依次为：

O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 0 , 0 , ) , B ( 0 , , 0 )

C (,, 0 ) , D (,, 0 )

E ( ,,) , F ( 0 , , 0)

（Ⅰ）因为= (,),= (,,0 )

又?=×+××0 =，且|| ==|| = 1

所以cos

所以EF与BC所成角的大小是60°

（Ⅱ）因为= (,,) , = (,,),

设平面ACD的一个法向量为= ( x₁ , y₁ , z₁ )

由? = 0， ? = 0，解得 = ( 0 , 2 ,).

因为，? =，| | =，

所以点O到平面ACD的距离等于d =

（Ⅲ）因为= (, ) , (0,,0),

设平面BEF的一个法向量为F_BEF = ( x₂ , y₂ , z₂ )

由可得BEF的一个法向量F_BEF =。

容易得到平面BCF的一个法向量F_BCF =（0，0，1）

因为F_BEF?F_BCF = 3 ，  |F_BEF| =， |F_BCF| = 1

所以cos=.

所以二面角C―BF―E的大小为arccos=arccos