Question

（2013•南通三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），离心率为

2

2

．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，建立关于a、c的方程组，解之可得a=

2

且c=1，再用平方关系算出b²=1，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线AB的方程为y=kx，与椭圆方程联解可得A的横坐标为

2 2k2+1

，点B的横坐标为-

2 2k2+1

，同理得到点C、D的横坐标关于k的式子，由此结合直线的斜率公式化简整理，即可算出直线AC，BD的斜率之和为0，从而证出所求证的命题是真命题．

解答：解：（1）由题意，得c=1，e=

c

a

=

2

2

，
故a=

2

，可得b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．  ①…（5分）
（2）证明：设直线AB的方程为y=kx，②
直线CD的方程为y=-k（x-1），③…（7分）
由①②联解，得点A的横坐标为

2 2k2+1

，点B的横坐标为-

2 2k2+1

，
同理，联解①③，得点C的横坐标为

2k2- 2(k2+1)

2k2+1

，D的横坐标为

2k2+ 2(k2+1)

2k2+1

…（9分）
记A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），C（x₃，k（1-x₃）），D（x₄，k（1-x₄）），
因此，直线AC，BD的斜率之和为

kx1-k(1-x3)

x1-x3

+

kx2-k(1-x4)

x2-x4

=k•

(x1+x3-1)(x2-x4)+(x1-x3)(x2+x4-1)

(x1-x3)(x2-x4)

=k•

2(x1x2-x3x4)-(x1+x2)+(x3+x4)

(x1-x3)(x2-x4)

…（13分）
=k•

2( -2 2k2+1 - 2(k2-1) 2k2+1 )-0+ 4k2 2k2+1

(x1-x3)(x2-x4)

=0．     
即直线AC，BD的斜率之和为0（定值）         …（16分）

点评：本题给出椭圆方程，求证分别经过O、F的两条直线AB、CD在满足倾角互补的情况下，直线AC、BD斜率之和为定值．着重考查了椭圆的简单几何性质和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．