Question

（12分）在三棱柱ABC―A₁B₁C₁中底面是边长为2的正三角形，点A₁在底面ABC上射影O

       恰是BC的中点。

   （1）求证：A₁A⊥BC；

   （2）当侧棱AA₁和底面成45°角时，求二面角A―AC―B的

   （3）若D为侧棱AA₁上一点，当为何值时，BD⊥A₁C₁。

Answer 1

解析：解法一：（1）连接AO，∴AO₁⊥面ABC，AO⊥BC. ∴A₁A⊥BC。                ??4分

   （2）由（1）得∠A₁AO=45°

由底面是边长为2的正三角形，

       可知AO=3

       ∴A₁O=3，AA₁=3

       过O作OE⊥AC于E，连接A₁E，

       则∠A₁EO为二面角A₁―AC―B                ????6分

       ∵∴tan∠A₁EO=                                                         ???7分

       即二面角A₁―AC―B的大小为arctan2.                                                           ???8分

   （3）过D作DF∥A₁O，交AO于F，则DF⊥平面ABC，

       ∴BC为BD在面ABC内的射影，

       又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC，

       ∴F为△ABC的中心，

       ∴                                                                                         ???12分

       解法二：以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA₁为z轴建立空间直角坐标系。

   （1）由题意知∠A₁AO=45°，A₁O=3

∴O（0，0，0）C（，0，0），A（0，3，0），A₁（0，0，3），B（，0，0）

       ∵（0，-3，3），=（2，0，0）

       ∴

       ∴AA₁⊥BC                                              ????4分

   （2）设面ACA₁的法向量为

       则

       令z=1，则x=，y=1， ∴=（，1，1）                                             ????5分

       而面ABC的法向量为=（0，0，1）（6分）

       cos（，）=

       又显然所求二面角的平面角为锐角，

       ∴所求二面角的大小为arccos                                                                   ???8分

   （3）A₁C₁∥AC，故只需BD⊥AC即可，设AD=a，则D（0，，）

       又B（，0，0），则（，，），（，-3，0）。

       要使BD⊥AC，须

       得，而A₁A=3， ∴A₁D=，