Question

12．已知$\frac{3π}{4}$＜α＜π，tanα+$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{10}{3}$．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{si{n}^{2}（π+α）+2sinαsin（\frac{π}{2}+α）+1}{3sinαcos（\frac{π}{2}-α）-2cosαcos（π-α）}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件解方程求得tanα的值，再根据α的范围，进一步确定tanα的值．
（2）由条件利用 诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．

解答 解：（1）因为tan α+$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{10}{3}$，所以3tan²α+10tan α+3=0，
解得tan α=-$\frac{1}{3}$或tan α=-3．
因为$\frac{3π}{4}$＜α＜π，所以-1＜tanα＜0，所以tanα=-$\frac{1}{3}$．
（2）原式=$\frac{{sin}^{2}α+2sinαcosα+1}{{3sin}^{2}α+{2cos}^{2}α}$=$\frac{{2sin}^{2}α+2sinαcosα{+cos}^{2}α}{{3sin}^{2}α+{2cos}^{2}α}$=$\frac{{2tan}^{2}α+2tanα+1}{{3tan}^{2}α+2}$=$\frac{5}{21}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．