已知{an}是各项为正数的等比数列.Sn为前n项和.满足$\frac{2}{{a} {3}}$+$\frac{1}{{a} {4}}$=$\frac{1}{{a} {5}}$.a3•S3=$\frac{7}{64}$．(Ⅰ)求an,(Ⅱ)设数列{an}的前n项积为Tn.求所有的正整数k.使得对任意的n∈N*.不等式Sn+k+$\frac{{T} {n}}{4}$＜1恒成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．已知{a_n}是各项为正数的等比数列，S_n为前n项和，满足$\frac{2}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{{a}_{5}}$，a₃•S₃=$\frac{7}{64}$．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项积为T_n，求所有的正整数k，使得对任意的n∈N^*，不等式S_n+k+$\frac{{T}_{n}}{4}$＜1恒成立．

分析（Ⅰ）根据等比数列的通项公式以及前n项和公式，建立方程关系即可求a_n；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项积为T_n，和数列{a_n}的前n项和为S_n，解不等式即可．

解答解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，a₁＞0，公比为q，（q＞0），
则由条件得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}•\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=\frac{7}{64}}\\{\frac{2}{{a}_{1}{q}^{2}}+\frac{1}{{a}_{1}{q}^{3}}=\frac{1}{{a}_{1}{q}^{4}}}\end{array}\right.$，--------------（4分）
解得a₁=q=$\frac{1}{2}$，则a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$--------------（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
又T_n=$（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n+1）}{2}}$--------------（10分）
若存在正整数k，使得不等式S_n+k+$\frac{{T}_{n}}{4}$＜1恒对任意的n∈N*都成立，
则1-$\frac{1}{{2}^{n+k}}$+（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}+2}$＜1，
即k＜$\frac{n（n-1）}{2}$+2，正整数k只有取k=1--------（15分）

点评本题主要考查等比数列求和以及通项公式的应用，根据条件建立方程关系求出数列的通项公式以及前n项和是解决本题的关键．

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