Question

某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元．以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的

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．根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平．
（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
（2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？

Answer 1

分析：（1）以1997年为第一年，根据甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的

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，则第n年该乡从这两家企业获得的利润为yn=320×(

3

2

)n-1+720×(

2

3

)n-1，(n≥1)，利用基本不等式可求两个企业获得利润最少的一年，从而可求还需另筹资金1040万元可解决温饱问题．
（2）2005年为第9年，该年可从两个企业获得利润y9=320×(

3

2

)8+720×(

2

3

)8，利用基本不等式可知y₉＞8100
，从而可知该乡到2005年底可以达到小康水平．

解答：解：（1）若以1997年为第一年，则
∵甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的

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∴第n年该乡从这两家企业获得的利润为yn=320×(

3

2

)n-1+720×(

2

3

)n-1，(n≥1)
∴y_n=80[4×(

3

2

)n-1+9×(

2

3

)n-1]≥2×80×

4×( 3 2 )n-1×9×( 2 3 )n-1

=2×80×6=960
当且仅当4×(

3

2

)n-1=9×(

2

3

)n-1，即n=2时，等号成立，
所以第二年（1998年）上交利润最少，利润为960万元．
由2000-960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题．
（2）2005年为第9年，该年可从两个企业获得利润y9=320×(

3

2

)8+720×(

2

3

)8＞320×(

3

2

)8=320×

81×81

16×16

=20×

81×81

16

＞20×81×5=8100
所以该乡到2005年底可以达到小康水平．

点评：本题考查的重点是解决实际问题，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式解决最值问题，属于中档题．