Question

已知点P_n(a_n，b_n)满足a_n＋1＝a_n·b_n＋1，b_n＋1＝(n∈N^*)

且点P₁的坐标为(1，－1)．

   (1)求过点P₁，P₂的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N^*，点P_n都在(1)中的直线l上．

Answer 1

(1)解　由P₁的坐标为(1，－1)知a₁＝1，b₁＝－1.

∴b₂＝＝，a₂＝a₁·b₂＝.

∴点P₂的坐标为.

∴直线l的方程为2x＋y＝1.

(2)证明　①当n＝1时，2a₁＋b₁＝2×₁＋(－1)＝1成立．

②假设n＝k(k∈N^*，k≥1)时，2a_k＋b_k＝1成立．

则2a_k＋1＋b_k＋1＝2a_kb_k＋1＋b_k＋1

＝(2a_k＋1)＝＝＝1.

∴n＝k＋1时，命题也成立．

由①②知，对n∈N^*，都有2a_n＋b_n＝1，即点P_n在直线l上．