Question

已知x₁，x₂，x₃，…，x_n∈（0，+∞）．
若x₁+x₂=1，则y=

x1+1

+

x2+1

的最大值为

6

；
若x₁+x₂+x₃=1，则y=

x1+1

+

x2+1

+

x3+1

的最大值为

12

；

若x₁+x₂+x₃+x₄=1，则y=

x1+1

+

x2+1

+

x3+1

+

x4+1

的最大值为

20

；
…
若x₁+x₂+x₃+…+x_n=1，则y=

x1+1

+

x2+1

+

x3+1

+…+

xn+1

的最大值为

n(n+1)

．

Answer 1

分析：根据所给的等式，观察可得对于x₁+x₂+x₃+…+x_k=1中，若左式为k项，则y的最大值与其项数有关，为

k(k+1)

，即可得答案．

解答：解：根据题意，分析可得：
若x₁+x₂=1，即左式为2项，则y=

x1+1

+

x2+1

的最大值为

2(2+1)

=

6

，
若x₁+x₂+x₃=1，即左式为3项，则y=

x1+1

+

x2+1

+

x3+1

的最大值为

3(3+1)

=

12

，
归纳可得，
于x₁+x₂+x₃+…+x_k=1中，若左式为k项，则y=

x1+1

+

x2+1

+…+

xk+1

的最大值与其项数有关，为

k(k+1)

，
那么，若x₁+x₂+x₃+…+x_n=1，则y=

x1+1

+

x2+1

+

x3+1

+…+

xn+1

的最大值为

n(n+1)

；
故答案为

n(n+1)

．

点评：本题考查归纳推理，关键发现等式x₁+x₂+x₃+…+x_k=1中，左式的项数与y的最大值的关系．