Question

已知曲线C:x²+y²+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.

(1)求证:曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;

(2)证明:曲线C过定点;

(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.

Answer 1

(1)圆的圆心都在直线2x-y-5=0上. (2)曲线C过定点(1,-3). (3) .

解析:

(1)原方程可化为(x+k)²+(y+2k+5)²=5(k+1)².

∵k≠-1,?

∴5(k+1)²>0.?

故方程表示圆心为(-k,-2k-5),

半径为的圆.

设圆心为(x,y),有

消去k,得2x-y-5=0.?

∴这些圆的圆心都在直线2x-y-5=0上.

(2)将原方程变形成?

k(2x+4y+10)+(x²+y²+10y+20)=0.?

上式关于参数k是恒等式,?

∴

解得

∴曲线C过定点(1,-3).

(3)∵圆C与x轴相切,

∴圆心到x轴的距离等于半径,

即|-2k-5|=|k+1|.?

两边平方,得(2k+5)²=5(k+1)².

∴.