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(本小题满分14分)

已知函数图象与轴异于原点的交点M处的切线为轴的交点N处的切线为, 并且平行.

(1)求的值;  

(2)已知实数t∈R,求函数的最小值;

(3)令,给定,对于两个大于1的正数

存在实数满足:,并且使得不等式

恒成立,求实数的取值范围.

 

【答案】

(1)

(2)①当时,              

②当时,  

③当时,

 ;      

,                      

【解析】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.

(1)利用导数的几何意义,分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率,令其相等解方程即可得a值,从而得到f(2)的值;

(2)令u=xlnx,再研究二次函数u2+(2t-1)u+t2-t图象是对称轴u= ,开口向上的抛物线,结合其性质求出最值;(3)先由题意得到F(x)=g(x)+g′(x)=lnx+ ,再利用导数工具研究所以F(x)在区间(1,+∞)上单调递增,得到当x≥1时,F(x)≥F(1)>0,下面对m进行分类讨论:①当m∈(0,1)时,②当m≤0时,③当m≥1时,结合不等式的性质即可求出a的取值范围.

解: 图象与轴异于原点的交点

图象与轴的交点

由题意可得,即,                    ………………………………………………2分

                   …………………………………………3分

=………4分

,在 时,

单调递增,                    ………………5分

图象的对称轴,抛物线开口向上

①当时,                …………………………………6分

②当时,   ………………………………7分

③当时,

            …………………8分

,

所以在区间上单调递增        ………………………9分

时,

①当时,有

,同理,  …………………10分

∴ 由的单调性知   

从而有,符合题设.          ………………11分

②当时,

的单调性知

,与题设不符 ……………12分

③当时,同理可得

,与题设不符.           ……………………13分

∴综合①、②、③得                       ……………14分

说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.

 

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3
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4
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π
4
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