(本小题满分14分)
已知函数,
,
图象与
轴异于原点的交点M处的切线为
,
与
轴的交点N处的切线为
, 并且
与
平行.
(1)求的值;
(2)已知实数t∈R,求函数的最小值;
(3)令,给定
,对于两个大于1的正数
,
存在实数满足:
,
,并且使得不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
(1);
(2)①当即
时,
②当即
时,
③当即
时,
;
,
【解析】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.
(1)利用导数的几何意义,分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率,令其相等解方程即可得a值,从而得到f(2)的值;
(2)令u=xlnx,再研究二次函数u2+(2t-1)u+t2-t图象是对称轴u= ,开口向上的抛物线,结合其性质求出最值;(3)先由题意得到F(x)=g(x)+g′(x)=lnx+
,再利用导数工具研究所以F(x)在区间(1,+∞)上单调递增,得到当x≥1时,F(x)≥F(1)>0,下面对m进行分类讨论:①当m∈(0,1)时,②当m≤0时,③当m≥1时,结合不等式的性质即可求出a的取值范围.
解: 图象与
轴异于原点的交点
,
图象与
轴的交点
,
由题意可得,即
,
………………………………………………2分
∴,
…………………………………………3分
=
………4分
令,在
时,
,
∴在
单调递增,
………………5分
图象的对称轴
,抛物线开口向上
①当即
时,
…………………………………6分
②当即
时,
………………………………7分
③当即
时,
…………………8分
,
所以在区间
上单调递增 ………………………9分
∴时,
①当时,有
,
,
得,同理
, …………………10分
∴ 由的单调性知
、
从而有,符合题设. ………………11分
②当时,
,
,
由的单调性知
,
∴,与题设不符 ……………12分
③当时,同理可得
,
得,与题设不符. ……………………13分
∴综合①、②、③得
……………14分
说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=
,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点(
)在函数
的图像上,其中
=
.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求
及数列{
}的通项公式;
(3)记,求数列{
}的前n项和
,并证明
.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天(
)的销售价格(单位:元)为
,第
天的销售量为
,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第
天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点
处的切线与直线
平行.
⑴ 求,
满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范围;
⑶ 证明:(
)
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