Question

（2012•许昌二模）设a≥0，函数f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]e^x，g(x)=2-a-x-

4

x+1

．
（ I）当a≥1时，求f（x）的最小值；
（ II）假设存在x₁，x₂∈（0，+∞），使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（ I）求出f（x）的导数，利用导数求出函数的最值问题；
（ II）根据第一问已经知道f（x）的值域，需要分两种情况：a＞1或0＜a＜1，根据|f（x₁）-g（x₂）|＜1求出a的范围；

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=[x²+（a-1）x-a]e^x=（x+a）（x-1）e^x
∵a≥1，
∴x∈（-∞，-a）时，f（x）递增，x∈（-a，1）时，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f（x）递增，
所以f（x）的极大值点为x₁=-a，极小值点为x₂=1，
而f（1）=（1-a）e≤0，f(-a)=

a+3

ea

＞0，
由于，对二次函数y=x²+（a-3）x-2a+3，对称轴为x=

3-a

2

＞-a，y（-a）=a+3＞0，
∴当x≤-a时，y=x²+（a-3）x-2a+3＞0，
∴f（x）＞0．             
当x＞-a时，f（x）的最小值为f（1）=（1-a）e．
所以，f（x）的最小值是（1-a）e．                                     
（ II）由（Ⅰ）知f（x）在（0，+∞）的值域是：
当a≥1时，为[（1-a）e，+∞），当0＜a＜1时，为（0，+∞）．                
而g(x)=2-a-x-

4

x+1

在（0，+∞）的值域是为（-∞，-a-1），
所以，当a≥1时，令（1-a）e-（-a-1）＜1，并解得a＞

e

e-1

，
当0＜a＜1时，令0-（-a-1）＜1，无解．
因此，a的取值范围是a＞

e

e-1

．

点评：此题考查利用导数研究函数的单调性，比较简单，但是第二问涉及恒成立的问题，就比较复杂，考查了分类讨论思想的应用，关于导数求最值的应用在高考是一个热点问题，每年都会考一道大题，难度中等；