Question

（2012•许昌二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，

5

），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（I）圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得即t2-3

2

t+4=0，根据两交点A，B所对应的参数分别为t₁，t₂，利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=2

5

sinθ，可得x2+y2-2

5

y=0，即圆C的方程为x2+(y-

5

)2=5．
由

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

可得直线l的方程为x+y-

5

-3=0．
所以，圆C的圆心到直线l的距离为

|0+ 5 - 5 -3|

2

=

3 2

2

．         …（5分）
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3-

2

2

t)2+(

2

2

t)2=5，即t2-3

2

t+4=0．
由于△=(3

2

)2-4×4=2＞0．故可设t₁、t₂是上述方程的两个实根，
所以

t1+t2=3 2 t1•t2=4.

，又直线l过点P(3，

5

)，
故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3

2

．       …（10分）

点评：此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程，掌握直线参数方程中参数的几何意义，是一道中档题．