Question

已知正三角形ABC边长为a，用这个三角形的高为边，作一个新的正三角形，再用这第二个正三角形的高为边作正三角形，…，这样无限继续下去，则所有正三角形的面积之和为    ．

Answer 1

【答案】分析：先设第n个三角形的面积为a_n，根据三角形面积公式得出a₁，a₂，a₃，发现数列{a_n}为等比数列，进而求出前n项和的极限，即可得到答案．
解答：解：设第n个三角形的面积为a_n，则a₁=×a×a×sin60°=a²，
a₂=×a×a×sin60°=a²=×a²，
a₃=×a×a×sin60°=×a²；
…
∴数列{a_n}为首项为 a²，公比为 的等比数列．
所有这些三角形的面积的和为 （a₁+a₂+…+a_n）==a²．
故答案为：a²．
点评：本题主要考查了等比数列的应用以及相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．