Question

（2009•长宁区二模）已知正三角形ABC边长为a，用这个三角形的高为边，作一个新的正三角形，再用这第二个正三角形的高为边作正三角形，…，这样无限继续下去，则所有正三角形的面积之和为

3

a2

．

Answer 1

分析：先设第n个三角形的面积为a_n，根据三角形面积公式得出a₁，a₂，a₃，发现数列{a_n}为等比数列，进而求出前n项和的极限，即可得到答案．

解答：解：设第n个三角形的面积为a_n，则a₁=

1

2

×a×a×sin60°=

3

4

a²，
a₂=

1

2

×

3

2

a×

3

2

a×sin60°=

3 3

16

a²=

3

4

×

3

4

a²，
a₃=

1

2

×

3

4

a×

3

4

a×sin60°=(

3

4

)2×

3

4

a²；
…
∴数列{a_n}为首项为

3

4

a²，公比为

3

4

的等比数列．
所有这些三角形的面积的和为

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）=

lim

n→∞

3 a2 4 [1-( 3 4 )n]

1- 3 4

=

3

a²．
故答案为：

3

a²．

点评：本题主要考查了等比数列的应用以及相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．