Question

（1）设f（x）=2^x，g（x）=4^x，若g[g（x）]＞g[f（x）]＞f[g（x）]，求x的最大取值范围．
（2）若函数y=4^x-3•2^x+3的值域为[1，7]，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，g[g（x）]=g（4^x）=44x，f[g（x）]=f（4^x）=24x，g（f（x））=g（2^x）=42x，由g[g（x）]＞g[f（x）]＞f[g（x）]，代入可求
（2）y=4^x-3•2^x+3=2^2x-3•2^x+3，依题意有

(2x)2-3•2x+3≤7 (2x)2-3•2x+3≥1

，解不等式可求

解答：解：（1）g[g（x）]=g（4^x）=44x，f[g（x）]=f（4^x）=24x，g（f（x））=g（2^x）=42x
∵g[g（x）]＞g[f（x）]＞f[g（x）]
∴44x＞42x＞24x
∴2^2x+1＞2^x+1＞2^2x，
∴2x+1＞x+1＞2x，
解得0＜x＜1
（2）y=4^x-3•2^x+3=2^2x-3•2^x+3，依题意有

(2x)2-3•2x+3≤7 (2x)2-3•2x+3≥1

即

-1≤2x≤4 2x≥2或2x≤1

，
∴2≤2^x≤4或0＜2^x≤1，
由函数y=2^x的单调性可得x∈（-∞，0]∪[1，2]．

点评：本题主要考查了指数函数的单调性的应用，解题的关键是熟练应用指数函数的性质，