Question

12．对于数列{a_n}，若?m，n∈N^*（m≠n），均有$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}≥t$（t为常数），则称数列{a_n}具有性质P（t）
（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²，具有性质P（t），则t的最大值为3
（2）若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²-$\frac{a}{n}$，具有性质P（7），则实数a的取值范围是a≥8．

Answer 1

分析 （1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²，具有性质P（t），则t的最大值为
（2）根据定义$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$≥7恒成立，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²，具有性质P（t），
则$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{m-n}$=m+n，
由$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}≥t$得m+n≥t，
∵?m，n∈N^*（m≠n），
∴当m+n=1+2时，t≤3，
则t的最大值为3．
（2）若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²-$\frac{a}{n}$，具有性质P（7），
则$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$≥7恒成立，
即$\frac{{m}^{2}-\frac{a}{m}-{n}^{2}+\frac{a}{n}}{m-n}$=$\frac{（m-n）（m+n）+\frac{a（m-n）}{nm}}{m-n}$=m+n+$\frac{a}{mn}$≥7，
即当m=1，n=2时，=m+n+$\frac{a}{mn}$=1+2+$\frac{a}{2}$≥7，
即$\frac{a}{2}$≥4
则a≥8．
故答案为：3，a≥8

点评 本题主要考查递推数列的应用，以及不等式恒成立问题，考查学生的运算和推理能力．