Question

20．平面直角坐标系中，已知F（1，0），动点P（-1，t），线段PF的垂直平分线与直线y=t的交点为M，设M的轨迹为曲线?，则?的方程为y²=4x，A、B、C为曲线?上三点，当$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有无数个．

Answer 1

分析 求出线段PF的垂直平分线方程，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{y=\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，把x，y用含有t的代数式表示，消去参数t得答案；由题意可得，F为△ABC的重心，然后结合构造以F为重心的三角形可以构造无数个得答案．

解答 解：∵F（1，0），P（-1，t），∴线段PF的中点为（0，$\frac{t}{2}$），
线段PF的垂直平分线方程为y=$\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{y=\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{x=\frac{{t}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
消去t得，y²=4x；
抛物线方程为y²=4x，A、B、C为曲线?上三点，当$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$时，F为△ABC的重心，
用如下办法构造△ABC，连接AF并延长至D，使FD=$\frac{1}{2}AF$，
当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．
故答案为：y²=4x；无数．

点评 本题考查轨迹方程的求法，抛物线的定义及问题的转化能力，是中档题．