分析:(1)作出题中不等式组对应的平面区域,得到如图所示的直角梯形OABC及其内部,其中A(
,1),B(
,2),C(0,2),由梯形面积公式即可算出区域D的面积;
(2)将目标函数
z=x+y对应的直线进行平移,可得当x=
,y=2时z达到最大值;当x=y=0时z达到最小值.由此即可得到z的取值范围;
(3)设N(1,0),可得(x-1)
2+y
2表示N、M两点之间的距离平方值,运动点M可得当M在OA上且MN⊥OA时,MN取到最小值.因此结合点到直线的距离公式,即可算出(x-1)
2+y
2的最小值.
解答:(1)由不等式组
表示的平面区域,得到四边形ABCO及其内部,
其中A(
,1),B(
,2),C(0,2)
∴平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,其面积为
S=
(AB+CO)×BC=
(3分)
(2)将
z=x+y对应的直线l进行平移,可得
当l经过点B时,z达到最大值;当l经过点0时,z达到最小值
∴z
max=
×
+2=4,z
min=0
由此可得,z的取值范围是[0,4]-----(7分)
(3)设N(1,0),结合M(x,y)为D上的动点,可得
(x-1)
2+y
2=|MN|
2运动点M,可得当点M与N在直线OA上的射影重合,即MN⊥OA时
点M、N的距离最短,此时|MN|=
=
∴|MN|
2的最小值为
,即(x-1)
2+y
2的最小值是
.(12分)
点评:本题给出不等式组表示的平面区域,求区域的面积并讨论目标函数的取值范围,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、点到直线的距离公式和简单的线性规划等知识,属于中档题.